算数 (問題 07)



問題 07
道 順

 下の図で、右上のスタート(S地点)から左下のゴール(G地点)まで、
遠回りしないで行く場合、何通りの行き方がありますか。

S
G



解 答












解答 07
道 順

 まず簡単な下の図で考えてみます。

ロ = 1

ト = 3
イ = 1      S

ホ = 2    ハ = 1


G = 6


ヘ = 3    ニ = 1

 スタート(S地点)から イ までは1通りの行き方があります。
 ロまでは イ を通る1通りです。
 同様に、ハ、ニ も1通りしかありません。
 では、ホ はどうでしょうか。
 イ を通る場合、ハを通る場合の2通りです。
 次に、ト までは イ - ロ - ト、イ - ホ - ト、ハ - ホ - ト の3通りです。
 同様に、ヘ までの行き方も3通りあります。
 最後に、ゴール(G地点)へ行くには、ト または ヘ を通ることになります。
 それぞれ3通りの行き方がありましたから、あわせて6通りの行き方があります。

 つまり、ある地点までの行き方は、その前の地点までの行き方を単純に合計すればいいことになります。

 これを問題の図に当てはめて考えると、下図のようになります。

5 4 3 2
15 10 6 3
G = 35 20 10 4

答え : 35通り


参 考
立方体の道順

 立方体の辺に沿って、頂点 A から対角の頂点 B まで、遠回りしないで行く場合、 何通りの行き方がありますか。

 これは、立方体を想像すれば簡単です。 6通りです。

 一般式

 平面の場合

 一般に、縦に p 、横に q だけ遠回りせずに行く方法の数は、

     p+q C q

となります。 この計算方法は、

     p+q C q = ( p + q )!/ ( p!* q!)

 p!は、p の階乗と読み、たとえば、7!は、

      7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040

となります。

 上の平面の例では、p = 3、q = 4 となって、

     3+4 C 3 = ( 3 + 4 )!/ ( 3!* 4!)

     = ( 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ) / ( 3 * 2 * 1 * 4 * 3 * 2 * 1 )

     = ( 7 * 6 * 5 ) / ( 3 * 2 * 1 ) = 210 / 6 = 35 通り

 立体の場合

 一般に、縦に p 、横に q 、上(または下)に r だけ遠回りせずに行く方法の数は、

      ( p + q + r )!/ ( p!* q!* r!)

となります。

 上の立方体の例では、p = 1、q = 1、r = 1 となって、

     ( 1 + 1 + 1 )!/ ( 1!* 1!* 1!)

     = ( 3 * 2 * 1 ) / ( 1 * 1 * 1 ) = 6 / 1 = 6 通り

 p = 2、q = 2、r = 2 では、

     ( 2 + 2 + 2 )!/ ( 2!* 2!* 2!)

     = ( 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ) / ( 2 * 2 * 2 )

     = ( 6 * 5 * 3 * 1 ) = 90 通り



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2002.9.1 作成



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